\subsection{傅氏级数}

	\begin{ti}
		设 $f(x) = x + 1 (0 \leq x \leq 1)$，则它以 $2$ 为周期的余弦级数在 $x = 0$ 处收敛于\kuo.

		\fourch{$1$}{$-1$}{$0$}{$\frac{1}{2}$}
	\end{ti}

	\begin{ti}
		若将 $f(x) = \begin{cases}
			x^{2}, & 0 \leq x \leq 1,\\
			0, & 1 \leq x \leq 2
		\end{cases}$ 在 $[0,2]$ 上展开成正弦级数，则该级数的和函数 $S(x)$ 为\htwo.
	\end{ti}

	\begin{ti}
		设 $f(x) = \begin{cases}
			x^{2}, & - \uppi \leq x < 0,\\
			-5, & 0 \leq x < \uppi,
		\end{cases}$ 则其以 $2 \uppi$ 为周期的傅里叶级数在 $x = \pm \uppi$ 处收敛于\htwo.
	\end{ti}

	\begin{ti}
		设 $f(x) = x^{2} (0 < x < 1)$，而
		\[
			S(x) = \sum_{n=1}^{\infty} b_{n} \sin n \uppi x, x \in (-\infty,+\infty),
		\]
		其中
		\[
			b_{n} = 2 \int_{0}^{1} f(x) \cdot \sin n \uppi x \dd{x}, n = 1,2,3,\cdots.
		\]
		则 $S\big( - \frac{1}{2} \bigr) = $\kuo.

		\fourch{$-\frac{1}{4}$}{$\frac{1}{4}$}{$-\frac{1}{2}$}{$\frac{1}{2}$}
	\end{ti}

	\begin{ti}
		设 $f(x) = \begin{cases}
			-1, & -\uppi < x \leq 0,\\
			1 + x^{2}, & 0 < x \leq \uppi,
		\end{cases}$ 则其以 $2\uppi$ 为周期的傅里叶级数在 $x = \uppi$ 处收敛于\htwo.
	\end{ti}

	\begin{ti}
		设 $f(x) = \uppi x + x^{2}, -\uppi \leq x < \uppi$，且周期为 $T = 2\uppi$. 若 $f(x)$ 在 $[-\uppi,\uppi)$ 上的傅里叶级数为
		\[
			\frac{a_{0}}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} (a_{n} \cos nx + b_{n} \sin nx),
		\]
		则 $b_{3} = $\htwo.
	\end{ti}

	\begin{ti}
		函数 $f(x) = \begin{cases}
			-1, & -\uppi \leq x < 0,\\
			1, & 0 \leq x \leq \uppi
		\end{cases}$ 在 $[-\uppi,\uppi]$ 上展开为傅里叶级数 $\frac{a_{0}}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} (a_{n} \cos nx + b_{n} \sin nx)$，则 $a_{n} = $\htwo，$b_{n} = $\htwo，和函数 $S(x) = $\htwo.
	\end{ti}

	\begin{ti}
		设 $f(x)$ 在区间 $[-\uppi,\uppi]$ 上连续且满足 $f(x + \uppi) = - f(x)$，则 $f(x)$ 的傅里叶系数 $a_{2n} = $\htwo.
	\end{ti}

	\begin{ti}
		设函数 $f(x)$ 是以 $2 \uppi$ 为周期的周期函数，且 $f(x) = \ee^{\alpha x} (0 \leq x < 2\uppi)$，其中 $\alpha \ne 0$，试将 $f(x)$ 展开成傅里叶级数，并求级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{1 + n^{2}}$ 的和.
	\end{ti}

	\begin{ti}
		设
		\[
			f(x) = \begin{cases}
				x + 1, & 0 \leq x \leq \uppi,\\
				0, & - \uppi \leq x < 0,
			\end{cases}
		\]
		$S(x) = \frac{a_{0}}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} (a_{n} \cos nx + b_{n} \sin nx)$ 是 $f(x)$ 的以 $2 \uppi$ 为周期的傅里叶级数，则 $\sum_{n = 1}^{\infty} (-1)^{n} a_{n} = $\htwo.
	\end{ti}

	\begin{ti}
		将函数 $f(x) = x^{2} (0 \leq x \leq \uppi)$ 展开成余弦级数，并求 $\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n^{2}}$ 的和.
	\end{ti}
	\newpage\guanggao